Lógica matemática. Es la disciplina que trata de métodos de
razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y
técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El
razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en
ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los
programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones
de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para
resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma
constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que
por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La
lógica es ampliamente aplicada en la Filosofía, Matemáticas, Computación, Física.
En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya
que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la
lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para
demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser
aplicados en investigaciones.
La evolución de la lógica está ligada a la evolución intelectual
del ser humano, ya que como ciencia del razonamiento se puede afirmar
que su historia representa la historia misma del hombre. La lógica surge
desde el momento en que el hombre al enfrentarse a la naturaleza
empieza a observar, experimentar, deduce y razona.
Durante el periodo 600 AC hasta 300 AC se desarrollaron en Grecia
los principios formales de las matemáticas, a este periodo se le llamo
periodo clásico en donde sus principales representantes son: Platón que el introdujo sus ideas y abstracciones; Aristóteles que presentó el razonamiento ductivo y sistemático y Euclides que fue el que tuvo mayor influencia ya que este estableció el método axiomático.
Platón
Platón, propone instaurar en Siracusa una utópica república dirigida por filósofos. Crea la Academia de Atenas
que no era solo una institución filosófica, sino centro de formación
política para jóvenes aristócratas. Según algunos especialistas, Platón
edifica su teoría del conocimiento con el fin de justificar el poder
emergente de la figura del filósofo. Sostiene la existencia de dos
mundos -el mundo de las ideas y el de mundo físico de los objetos. Según
Platón, lo concreto se percibe en función de lo abstracto y por tanto
el mundo sensible existe gracias al mundo de las ideas. Platón escoge el
formato diálogo como forma de transmisión del pensamiento.
Aristóteles
Los tratados de lógica de Aristóteles,
conocidos como Organón, contienen el primer tratado sistemático de las
leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el
primer intento serio que funda la lógica como ciencia.
Objetivos
El objetivo de la lógica matemática es cuestionar los conceptos y las
reglas de deducción que son utilizadas en las matemáticas y esto
constituye a la lógica una verdadera matemática.
Álgebra de la lógica
Parte de la lógica matemática basada en la aplicación de los métodos
algebraicos al estudio de los objetos lógicos: clases y proposiciones.
Por una parte, la proposición expresa un sentido (juicio); por otra,
designa una verdad (V) o una mentira (M). Así, las proposiciones «El
Volga desemboca en el mar Caspio» y «2 x 2= 4» expresan un sentido
diferente, pero ambas designan una verdad (tienen el significado de V).
El álgebra de la lógica examina las proposiciones sólo desde el
punto de vista de su significado, con la particularidad de que se
consideran equivalentes las que poseen un mismo significado de
veracidad.
El álgebra de la lógica utiliza la notación simbólica (Simbolismo
lógico). Además de los símbolos de las proposiciones, se emplean
símbolos para las operaciones: conjunción, disyunción, implicación,
negación, con los cuales el álgebra de la lógica forma unas expresiones
partiendo de otras.
Una expresión será compuesta si ha sido formada por otras
mediante operaciones algebraicas lógicas; en el caso contrario, será
simple. Dos expresiones se llaman equivalentes si en cada combinación
posible de significados de las expresiones simples en ellas contenidas
presentan significados iguales. Así A ® B es equivalente a Aœ Ë B, dado
que en las cuatro posibles combinaciones de significados de V y M para A
y B: VV, VM, MV, MM, A ® B presenta el mismo significado que Aœ Ë B.
En relación con los conceptos introducidos, se plantean en el
álgebra de la lógica una serie de problemas a cuya resolución se aplica
esta disciplina. Históricamente, el álgebra de la lógica surgió como
álgebra de las clases (Boole) y sólo después fue interpretada como
álgebra de las proposiciones. Con los trabajos de V. I. Shestakov y de Claude Shannon,
el álgebra de la lógica encuentra amplia aplicación en la teoría de
los esquemas eléctricos y de los esquemas con relés de contacto.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante.
El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).
La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del cono y un plano cuyo ángulo es menor que el de su generatriz.
Elementos de la hipérbola
Los elementos de la hipérbola son:
Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.
Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).
Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F1F2.
Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.
Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:
Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide
el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y
otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con
un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi.
Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.
Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).
Hipérbola equilátera
La hipérbola equilátera es la que tiene sus asíntotas (A1 y A2) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.
Relación entre semiejes de la hipérbola
Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:
Geométricamente podemos encontrar los puntos B1 y B2. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la hipérbola en los vértices V1 y V2. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a
y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la
intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B1 y B2. Siendo O=(o1,o2) el centro de la hipérbola, tendremos que B1=(o1,o2+b) y B2=(o1,o2-b).
De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje real (a) y la semidistancia focal (c):
Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:
Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola:
siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.
Las asíntotas de la hipérbola (A1 y A2) son las dos líneas rectas que se aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. En el infinito las asíntotas estarán a una distancia 0 de ella.
Las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener si se conocen el semieje real (a) y el semieje imaginario (b).
La excentricidad mide lo “abierta” que es la hipérbola. Puesto que c (semidistancia focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad de la hipérbola es siempre mayor que la unidad.
La excentricidad es mayor o igual a 1. Si ésta es muy próxima a 1, la hipérbola tiende a una recta partida. Cuando la excentricidad
crece, la hipérbola tiende a dos rectas paralelas al eje no transverso,
o dicho de otra forma, las dos ramas de la hipérbola están más
abiertas.
La excentricidad también se puede calcular a partir de los semiejes (a y b) mediante la fórmula:
Construcción de la hipérbola por puntos
Veamos una forma sencilla para la construcción geométrica de la hipérbola, conociendo el eje real (V1V2=2a) y la distancia focal (F1F2=2c).
Dibujamos la línea del eje focal E, sobre la que marcamos los dos vértices V1 y V2 y su centro O, equidistante de ellos una distancia a. Marcamos también los dos focos, equidistantes del centro O una distancia c.
Ahora, sobre el mismo eje y a partir del segmento 2c hacia afuera, marcamos unos puntos cualquiera, supongamos que cuatro: P1, P2, P3, P4.
Con un compás, en cada uno de ellos tomamos dos radios, r=P1V1 y r’=P1V2.
Con esos radios y centros en los dos focos F1 y F2 trazamos arcos. Los cuatro puntos donde se cortan son puntos de la hipérbola.
Repetimos el proceso con P2, P3 y P4.
Si unimos los puntos obtenidos, apoyándonos sobre las asíntotas, obtendremos la hipérbola.
Vemos que cada uno de esos puntos cumple ri – ri’ = d1 – d2 = 2a,
que, como se han trazado con centro en los dos focos, cumple la
definición de la hipérbola.
Cuando los puntos se encuentran
ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia
entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos
(-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran
ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia
entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en
cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda
determinada por la relación:
Para demostrar esta
relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2)
en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de
hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y
(de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia
entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar
del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la
relación:
(1)
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)
Demostración
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.
La distancia entre los puntos P1y P2 denotada por d = esta dada por:
(1)
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta
Figura 1
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:
Pero: ;
y
Luego,
En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.
El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y P2 no afecta el valor de la distancia.
La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano). La recta se puede entender como un conjunto infinito de
puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta
puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a
la derecha).
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los
datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par
de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta. Para comprender este proceder es como si la misma línea
solo se cambia de ropa para que sepan de su existencia pero expresada
en términos matemátiicos (como una ecuación).
Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado.
Esta ecuación de la recta varía su formulación de
acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere
representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas
de representar la ecuación de la recta. 1.– Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.
De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana,
para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A
y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).
Recuerden que es imprescindible dominar
todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la
recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación
Ax + By + C = 0
Que también puede escribirse como
ax + by + c = 0
y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:
Teorema
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales (); y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.
2.– Ecuación principal de la recta
Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.
Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:
Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada (vertical).
(x, y) = (Abscisa , Ordenada)
Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.
Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.
Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula
y = mx + n
que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).
Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n,
esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que
deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).
Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y). Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma
y − y1 = m(x − x1)
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n
en la primera forma de la ecuación principal). También se puede
utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al
origen a partir de una ecuación dada.
Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7).
Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o
explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la
ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos
variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede
ser el intercepto.
Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y). Ejemplo 1:
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendientem = 3 e intercepto b = 10.
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usamos la información que tenemos: m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x + 10.
La ecuación que se pide es y = 3x + 10.
Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general: y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como – y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar 3x – y + 10 = 0 Ejemplo 2
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usamos a información: m = – 5 y sustituimos en la ecuación: y = – 5x + b
Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b
Despejamos la variable b en: 2 = – 5 (1) + b 2 = – 5 + b 2 + 5 = b b = 7
Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7
La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7.
La cual también podemos expresar en su forma general: y = – 5x + 7 y + 5x – 7 = 0
la cual ordenamos y queda 5x + y – 7 = 0
Pendiente de una Recta
Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3.
Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.
Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 1/5.
Además:
Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen. Determinar la pendiente
Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación
de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para
hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría: 3 = 2 · 1 + n,
y despejando n, queda n = 1.
Por lo tanto, la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1.
Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas: 3 = m · 1 + n, 5 = m · 2 + n.
Ahora, observemos el gráfico de la derecha: Cuando se tienen dos puntos de una recta P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), la pendiente, que es siempre constante,
queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las
ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los
mismos puntos, o sea, con la fórmula
Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula:
y – y1 = m(x – x1)
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele
utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo
de sus puntos.
Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1, y1) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera:
y – y1 = m(x – x1)
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de – 1/3
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente: y – y1 = m(x – x1) y – (–4) = – 1/3(x – 2) 3(y + 4) = –1(x – 2) 3y + 12 = –x + 2 3y +12 + x – 2 = 0 3y + x + 10 = 0 x + 3y + 10 = 0
Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) quedan determinados por:
Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0?
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.
Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea
y
Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
que también se puede expresar como
Ejemplo 1:
Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)
y – 2 = x – 1
y – x + 1 = 0
Ejemplo 2:
Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P1(4, 3) y P2(–3, –2)
Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
Reemplazamos los valores:
–2 – 3 = y – 3
–3 – 4 x – 4
–5 = y – 3
–7 x – 4
y – 3 = x – 4 (–5 /–7)
y – 3 = –5 x + 20
–7
–7 (y – 3) = –5 x + 20
–7y +21 + 5x – 20 = 0
5x – 7y + 1 = 0
Que se corresponde con una ecuación de la forma general
Ax + By + C = 0
Donde
A = 5
B = 7
C = 1
Ecuación de la recta dados punto–pendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente)
Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la
ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por
pero
Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos
despejando, llegamos a:
y – y1 = m(x – x1)
Ejemplo:
Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, –3)
y – y1 = m(x – x1)
y – (–3) = –4(x – 5)
y + 4 = –4x + 20
Luego la ecuación pedida es 4x + y – 16 = 0. Ejercicios para obtener la ecuación general de la recta dados un punto y la pendiente
Recuerde que la fórmula inicial es y – y1 = m(x – x1) 1. m = –1; punto (–2, 3)
y – 3 = –1(x + 2)
y – 3 = –x – 2
x + y – 1 = 0 2. m = 2; punto (–3/2, –1)
y + 1 = 2(x + 3/2)
y + 1 = 2x + 3
– 2x + y – 2 = 0
2x – y + 2 = 0 3. m = 0; punto (–3, 0)
y – 0 = 0(x + 3)
y = 0 4. m= –4; punto (2/3, –2)
y + 2 = –4(x – 2/3)
y + 2 = –4x + 8/3
y +2 – 4x –8/3 = 0
y – 2/3 – 4x = 0
4x – y + 2/3 = 0 5. m = –2/5; punto (1,4)
y – 4 = 1(x – 1)
y – 4 = x – 1
y – 4 – x + 1 = 0
y – 3 – x = 0
x – y + 3 = 0 6. m = 3/4; punto (2,5, –3)
y + 3 = ¾(x – 2,5)
y + 3 = 3/4x – 15/8
y + 3 – 3/4x +15/8 = 0
y + 39/8 – 3/4x = 0
3/4x – y – 39/8 = 0 7. m = ind; punto (0,5)
y – 5 = (x – 5)
y – 5 – x + 5 = 0
y – x = 0
x – y = 0 8. m = 0; punto (–4, 1/2)
y – ½ = (x + 4)
y – ½ – x – 4 = 0
y – 9/2 – x = 0
x – y + 9/2 = 0
(1)
esta dada por: 
(1)
; 
); y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta. 
y 
